Glatte ebene projektive Kurve/Homogener Quotient/Hauptdivisor/Berechnung/Aufgabe/Lösung


Es sei ein Punkt der Kurve und es sei (ohne Einschränkung) eine affine Umgebung des Punktes. Sowohl die Schnittmultiplizitäten als auch der Wert des Hauptdivisors an wird im lokalen Ring berechnet. Es seien die Dehomogenisierungen von . Der Punkt entspricht dem maximalen Ideal

(mit und ). Der lokale Ring ist

Die Schnittmultiplizität von mit im Punkt ist die -Dimension

des Restklassenringes . Dies ist die Ordnung von im diskreten Bewertungsring . Dies ist auch der Wert des Hauptdivisors zu der von auf und auf induzierten Funktion. Da dies auch für gilt und beide Funktionen in nicht zu werden, folgt die Behauptung.