Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}U\subseteq V$ offen,

$h\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und

$U\longrightarrow V,\,P\longmapsto G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P),$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon J\longrightarrow U$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=G(v)\,.$

Dann steht ${}\varphi '(t)$ senkrecht auf dem Tangentialraum ${}T_{\varphi (t)}F$ der Faser ${}F$ von ${}h$ durch ${}\varphi (t)$ für ${}t\in J$, für die ${}\varphi (t)$ reguläre Punkte von ${}h$ sind.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen