Gradientenfeld/Potential zweimal stetig differenzierbar/Lösung mit Pause ist konstant/Aufgabe/Lösung

a) Wenn ${}h$ zweimal stetig differenzierbar ist, so ist das Gradientenfeld ${}G$ stetig differenzierbar. Damit genügt es nach Fakt lokal einer Lipschitz-Bedingung und daher sind die Lösungen zu den Anfangswertproblemen in diesem Vektorfeld nach dem Satz von Picard-Lindelöf eindeutig. Eine Lösung ${}\varphi$ der Differentialgleichung mit

${}\varphi '(t_{0})=0\,$

ist eine Lösung eines Anfangswertproblems, wobei die Anfangsbedingung eben durch ${}\varphi (t_{0})$ gegeben ist. Sei

${}w:=\varphi (t_{0})\,.$

Es ist also insbesondere

${}0=\varphi '(t_{0})=G(\varphi (t_{0}))=G(w)\,.$

Wegen der Zeitunabhängigkeit des Gradientenfeldes ist daher die konstante Kurve

${}\psi =w\,$

eine Lösung des Anfangswertproblems und muss wegen der Eindeutigkeit der Lösung mit ${}\varphi$ übereinstimmen. D.h., dass ${}\varphi$ konstant ist.

b) Es sei ${}n=1$ und

${}h(x)={\frac {9}{5}}x^{5/3}={\frac {9}{5}}{\left(x^{1/3}\right)}^{5}\,.$

Diese Funktion ist auf ganz ${}\mathbb {R}$ definiert und überall differenzierbar. Die Ableitung davon ergibt das Gradientenfeld

${}G(x)={\frac {9}{5}}\cdot {\frac {5}{3}}x^{2/3}=3x^{2/3}\,.$

Die Differentialgleichung

${}\varphi '=3{\left(\varphi \right)}^{2/3}\,$

besitzt die nichtkonstante Lösung

${}\varphi (t)=t^{3}\,$

mit

${}\varphi '(0)=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe