Gradientenfeld/Reguläre Lösung/Ist injektiv/Aufgabe/Lösung

Es sei

ein Potential zu , also eine differenzierbare Funktion, deren Gradientenfeld gleich ist. Wir zeigen, dass sogar die zusammengesetzte Abbildung

injektiv ist. Aufgrund der Kettenregel ist die Ableitung dieser Abbildung gleich

Nach Fakt steht senkrecht auf dem Tangentialraum zu im Punkt . Insbesondere gehört nicht zum Tangentialraum (da das Skalarprodukt positiv definit ist), also nicht zum Kern von . Daher ist

D.h. dass keine Nullstelle besitzt und daher ist nach Fakt

streng wachsend oder streng fallend, also injektiv.