Gradientenfeld/x^2+2y^2/Lösungskurven/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}\operatorname {Grad} \,f(x,y)={\begin{pmatrix}2x\\4y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,.$

b) Da es sich um ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten handelt, und da das Vektorfeld in diagonalisierter Form vorliegt, sind ${}e^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}e^{4t}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ die Basislösungen. Die allgemeine Lösung ist

${}v(t)=ae^{2t}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+be^{4t}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,.$

Diese befindet sich zum Zeitpunkt ${}t=0$ an der Stelle ${}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$.

c) Zum Zeitpunkt ${}t=1$ befindet sich die Lösungskurve ${}v(t)$ an der Stelle

${}v(1)=ae^{2}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+be^{4}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae^{2}\\be^{4}\end{pmatrix}}\,.$

d) Der Wert von ${}f$ an der Stelle ${}v(1)$ ist

${}f{\begin{pmatrix}ae^{2}\\be^{4}\end{pmatrix}}=a^{2}e^{4}+2b^{2}e^{8}=h(a,b)\,.$

Es geht also um die Extrema dieser Funktion ${}h(a,b)$ unter der Nebenbedingung ${}f=1$. Es ist

${}\operatorname {Grad} \,h={\begin{pmatrix}2ae^{4}\\4be^{8}\end{pmatrix}}\,.$

Der Ansatz

${}\lambda {\begin{pmatrix}2a\\4b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2ae^{4}\\4be^{8}\end{pmatrix}}\,$

führt bei ${}a\neq 0$ auf

${}\lambda =e^{4}\,$

und auf

${}b=0\,$

und bei ${}b\neq 0$ auf

${}\lambda =e^{8}\,$

und auf

${}a=0\,.$

Mögliche Extrema liegen also in ${}P_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und in ${}P_{2}={\begin{pmatrix}0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$ vor. Die Werte sind ${}h(P_{1})=e^{4}$ und ${}h(P_{2})=2{\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}^{2}e^{8}=e^{8}$. Daher liegt, da die durch ${}f=1$

gegebene Faser kompakt und ${}h$ darauf überall regulär ist, in ${}P_{1}$ das Minimum und in ${}P_{2}$ das Maximum vor.

Zur gelösten Aufgabe