Graduierte Algebra/Körper/Erläuterung/Bemerkung

In einer ${}D$-graduierten ${}K$-Algebra besitzt jedes Element ${}a\in A$ eine eindeutige Darstellung

$a=\sum _{d\in D}a_{d}{\text{ mit }}a_{d}\in A_{d},$

wobei nur endlich viele der ${}a_{d}$ ungleich ${}0$ sein können. Die ${}a_{d}$ heißen dabei die homogenen Komponenten von ${}a$, die ${}A_{d}$ heißen ebenfalls die homogenen Komponenten von ${}A$ (oder ${}d$-te Stufe) und Elemente ${}a\in A_{d}$ heißen homogen vom Grad ${}d$. Die Gruppe ${}D$ heißt die graduierende Gruppe. Der Fall ${}A_{d}=0$ ist erlaubt.

Durch eine Graduierung wird die Multiplikation auf einer Algebra ${}A$ übersichtlicher strukturiert. Man muss lediglich für homogene Elemente ${}a\in A_{d}$ und ${}b\in A_{e}$ die Produkte ${}ab\in A_{d+e}$ kennen, dadurch ist schon die gesamte Multiplikation distributiv festgelegt.