Graduierte Erweiterung/Restklassendarstellung/10 Wurzel aus 5/Rechnung/Aufgabe

Wir betrachten die ${}\mathbb {Z} /(10)$-graduierte ${}\mathbb {Q}$-Algebra

${}L=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{10}-5\right)}=\mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {1}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {2}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {3}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus \cdots \oplus 5^{\frac {8}{10}}\cdot \mathbb {Q} \oplus 5^{\frac {9}{10}}\cdot \mathbb {Q} \,.$

1. Berechne das Inverse von

   $5^{\frac {1}{10}}.$

2. Berechne

   ${\left(5^{\frac {7}{10}}\right)}^{4}.$

3. Berechne

   ${\left({\frac {2}{7}}-{\frac {4}{3}}\cdot 5^{\frac {3}{10}}-5\cdot 5^{\frac {8}{10}}\right)}{\left({\frac {2}{3}}+{\frac {5}{4}}\cdot 5^{\frac {5}{10}}+4\cdot 5^{\frac {7}{10}}-{\frac {1}{2}}\cdot 5^{\frac {9}{10}}\right)}.$

4. Bestimme graduierte Unterringe von ${}L$.

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