Graduierte Körpererweiterung/Hinreichend viele Einheitswurzeln/Normalbasis/Aufgabe/Lösung


Unter der Voraussetzung über die Einheitswurzeln ist die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung und die Galoisgruppe ist in natürlicher Weise isomorph zur Charaktergruppe . Insbesondere ist die Anzahl der Charaktere gleich dem Grad der Körpererweiterung. Ein Charakter schickt, als Automorphismus aufgefasst, ein homogenes Element vom Grad auf .

Wir wählen in jeder Komponente ein von verschiedenes Element und setzen

Die Menge ist gleich

Da die Anzahl der Charaktere gleich dem Körpergrad ist, genügt es zu zeigen, dass diese Elemente linear unabhängig sind. Es sei also

mit . Das bedeutet

Da die , , linear unabhängig sind, folgt für jedes die Beziehung

Dies bedeutet wiederum für die Charaktere die Gleichheit

Nach dem Lemma von Dedekind sind aber die Charaktere linear unabhängig, sodass ist.