Wir betrachten den Graph
der Abbildung
-
als zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des
![{\displaystyle {}\mathbb {R} ^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b8be9f7da70d5c06f25f06216e3e8f3a6221e4)
, also
-
![{\displaystyle {}M={\left\{(u,v,u^{2}+uv-v^{3})\mid (u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26169d5cb7b407b339152d2a70989385f27528df)
mit der vom
induzierten riemannschen Metrik. Es sei
-
die zugehörige Diffeomorphie.
a) Bestimme das totale Differential zu
sowie die Bildvektoren
und
in
.
b) Bestimme für jeden Punkt der Form
den Flächeninhalt des von
und
in
aufgespannten Parallelogramms.
c) Bestimme für jeden Punkt der Form
den Flächeninhalt des von
![{\displaystyle {}T_{P}(\psi )(e_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ecec7e9cf8aee2be634fe7a06fa6d5acc7c4bcf)
und
![{\displaystyle {}T_{P}(\psi )(e_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b9bf4f52ea9ee54472446b40bfbc552f8784ee)
in
![{\displaystyle {}T_{\psi (P)}M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec60849ee365f8e02216394f6c84fe7138df23d)
aufgespannten Parallelogramms.