Graph/3/Eine Kante/Eigenwerte/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x&-1&0\\-1&x&0\\0&0&x\end{pmatrix}}&=x^{3}-x\\&=x(x^{2}-1)\\&=x(x-1)(x+1).\end{aligned}}$

Somit sind ${}0,1,-1$ Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit ${}1$.

Der Eigenraum zu ${}0$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}1$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}-1$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-1&-1&0\\-1&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$. Dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe