Graph/3/Linear/Eigenwerte/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom ist

${}\det {\begin{pmatrix}x&-1&-1\\-1&x&0\\-1&0&x\end{pmatrix}}=x^{3}-x-x=x^{3}-2x=x(x^{2}-2)\,.$

Somit sind ${}0$, ${}{\sqrt {2}}$ und ${}-{\sqrt {2}}$ die Eigenwerte mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit ${}1$. Der Eigenraum zu ${}0$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}$, dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}{\sqrt {2}}$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2}}&-1&-1\\-1&{\sqrt {2}}&0\\-1&0&{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$, dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}.$

Der Eigenraum zu ${}-{\sqrt {2}}$ ist der Kern von ${}{\begin{pmatrix}-{\sqrt {2}}&-1&-1\\-1&-{\sqrt {2}}&0\\-1&0&-{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}$, dieser ist

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\-{\sqrt {2}}\\-{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe