Grenzwert/Funktion/Unendlich/Rechenregeln/Aufgabe

Es sei ${}[a,+\infty [$ ein rechtsseitig unbeschränktes Intervall und ${}f,g\colon [a,+\infty [\rightarrow \mathbb {R}$ seien Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)$ existieren. Zeige, dass folgende Beziehungen gelten.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x).$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x).$

3. Es sei ${}g(x)\neq 0$ für alle ${}x\in [a,+\infty [$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)\neq 0$. Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert für ${}x\rightarrow +\infty$, und zwar ist

   $\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,g(x)}}.$

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