Reelle Zahlen/Funktion/Grenzwert gegen unendlich/Definition

Grenzwert einer Funktion gegen unendlich

Es sei ${}T=[a,\infty ]$ (oder ${}T=[-\infty ,a]$) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ für ${}x\rightarrow +\infty$ (bzw. $x\rightarrow -\infty$), wenn es für jedes ${}\epsilon >0$ ein ${}x_{0}\geq a$ (bzw. ${}x_{0}\leq a$) gibt mit ${}\vert {f(x)-b}\vert \leq \epsilon$ für alle ${}x\geq x_{0}$ (bzw. ${}x\leq x_{0}$). In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow +\infty }\,f(x)=b\,$

(bzw. ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow -\infty }\,f(x)=b$).