Grenzwert/Funktion/cos x hoch 1 durch x/Aufgabe/Lösung

Es ist

{}f(x)={\left(\cos x\right)}^{1/x}=\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)\,

und somit ist

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)

zu bestimmen. Da die Exponentialfunktion stetig ist, müssen wir

\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}

bestimmen. Sowohl die Zähler- als auch die Nennerfunktion besitzen den Grenzwert ${}0$ . Wir können die Regel von Hospital anwenden und betrachten

{\frac {\frac {-\sin x}{\cos x}}{1}}.

Dies konvergiert für ${}x\rightarrow 0$ gegen ${}0$ . Somit ist auch

{}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln \left(\cos x\right)}{x}}=0\,

und damit ist

{}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,\exp \left({\frac {1}{x}}\ln \left(\cos x\right)\right)=\exp 0=1\,.