Grenzwert einer Funktion/ln x+1 durch sin 2x/Aufgabe/Lösung

Wir verwenden die Regel von Hospital. Die Ableitung der Zählerfunktion ist

{}{\left(\ln(x+1)\right)}'={\frac {1}{x+1}}\,

mit dem Wert ${}1$ für ${}x=0$ und die Ableitung der Nennerfunktion ist

{}{\left(\sin 2x\right)}'=2\cos 2x\,

mit dem Wert ${}2$ für ${}x=0$ . Daher ist Hospital anwendbar und es ist

{}\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln(x+1)}{\sin 2x}}=\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\frac {1}{x+1}}{2\cos 2x}}={\frac {1}{2}}\,.