Gesetze der großen Zahlen haben die Konvergenz von
1
n
(
(
X
1
−
μ
1
)
+
.
.
.
+
(
X
n
−
μ
n
)
)
{\displaystyle {\frac {1}{n}}((X_{1}-\mu _{1})+...+(X_{n}-\mu _{n}))}
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
μ
i
=
E
(
X
i
)
{\displaystyle \mu _{i}=E(X_{i})}
Sind
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}
p
{\displaystyle p}
Wir sagen, dass eine Folge
Y
1
,
Y
2
,
.
.
.
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},...}
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
∀
ϵ
>
0
:
P
(
|
Y
n
−
Y
|
≥
E
)
→
0
,
(
n
→
∞
)
{\displaystyle \forall \epsilon >0:P(|Y_{n}-Y|\geq E)\to 0,(n\to \infty )}
gilt. Man schreibt dafür
Y
n
→
P
Y
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {P}{\to }}Y}
b) mit existierendem Erwartungswert
μ
i
=
E
(
X
i
)
{\displaystyle \mu _{i}=E(X_{i})}
Y
n
=
1
n
[
(
X
1
−
μ
1
)
+
.
.
.
+
(
X
n
−
μ
n
)
]
,
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}[(X_{1}-\mu _{1})+...+(X_{n}-\mu _{n})],n=1,2,...}
von Zufallsvariablen stochastsich gegen 0 konvergiert.
Y
n
→
p
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {p}{\to }}0}
Bearbeiten
Sind
X
1
,
X
2
{\displaystyle X_{1},X_{2}}
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
X
i
∈
L
2
{\displaystyle X_{i}\in {\mathcal {L}}_{2}}
1
n
2
∑
i
=
1
n
V
a
r
(
X
i
)
→
0
{\displaystyle {\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})\to 0}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
Für die Zufallsvariablen
Y
n
=
1
n
∑
(
X
i
,
μ
i
)
{\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}\sum (X_{i},\mu _{i})}
E
Y
n
=
0
{\displaystyle EY_{n}=0}
V
a
r
(
Y
n
)
=
1
n
2
∑
i
=
1
n
V
a
r
(
X
i
)
→
0
{\displaystyle Var(Y_{n})={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}Var(X_{i})\to 0}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
Tschebyscheff-Ungleichung
P
(
|
Y
n
=
E
(
Y
n
)
|
≥
ϵ
)
≤
V
a
r
(
Y
n
)
ϵ
2
→
0
,
{\displaystyle P(|Y_{n}=E(Y_{n})|\geq \epsilon )\leq {\frac {Var(Y_{n})}{\epsilon ^{2}}}\to 0,}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
Sind
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
V
a
r
(
X
i
)
≤
M
<
∞
{\displaystyle Var(X_{i})\leq M<\infty }
∀
i
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle \forall i=1,2,...}
Ist
X
n
=
X
1
+
.
.
.
+
X
n
{\displaystyle X^{n}=X_{1}+...+X_{n}}
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
B
(
1
,
p
)
{\displaystyle B(1,p)}
1
n
X
n
→
P
p
′
{\displaystyle {\frac {1}{n}}X^{n}{\stackrel {P}{\to }}p'}
Umgangssprachlich: die relativen Häufigkeiten des Ereignisses '1' konvergieren stochastisch gegen
w
{\displaystyle w}
Die stochstische Konvergenz stellt einen relativ schwachen Konvergenzbegriff dar. So braucht für kein
w
∈
Ω
{\displaystyle w\in \Omega }
Y
n
(
w
)
→
Y
(
w
)
{\displaystyle Y_{n}(w)\to Y(w)}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
Sei
(
Ω
,
U
,
P
)
=
(
[
0
,
1
]
,
[
0
,
1
]
∩
B
1
,
Gleichverteilung
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {U}},P)=([0,1],[0,1]\cap {\mathcal {B}}^{1},{\text{Gleichverteilung}})}
Y
n
=
1
A
n
,
n
≥
1
{\displaystyle Y_{n}=1_{A_{n}},n\geq 1}
A
n
=
{
w
→
[
0
,
1
]
:
∃
m
∈
N
mit
w
+
m
→
[
a
n
−
1
,
a
n
]
}
{\displaystyle A_{n}=\lbrace w\to [0,1]:\exists m\in \mathbb {N} \,{\text{mit}}\,w+m\to [a_{n-1},a_{n}]\rbrace }
wobei
A
0
=
0
{\displaystyle A_{0}=0}
a
n
=
1
+
1
2
+
.
.
.
+
1
n
{\displaystyle a_{n}=1+{\frac {1}{2}}+...+{\frac {1}{n}}}
w
∈
[
a
n
−
1
,
a
n
]
mod
1
{\displaystyle w\in [a_{n-1},a_{n}]{\text{mod}}1}
Es gilt
1.
Y
n
→
P
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {P}{\to }}0}
ϵ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \epsilon \in (0,1)}
P
(
|
Y
n
−
0
|
>
ϵ
)
=
P
(
Y
n
=
1
)
=
P
(
A
n
)
=
1
n
→
0
{\displaystyle P(|Y_{n}-0|>\epsilon )=P(Y_{n}=1)=P(A_{n})={\frac {1}{n}}\to 0}
2. Die Folge
Y
n
(
w
)
{\displaystyle Y_{n}(w)}
w
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle w\in [0,1]}
Der Konvergenzberiff
Y
n
(
w
)
=
Y
(
w
)
{\displaystyle Y_{n}(w)=Y(w)}
∀
w
∈
Ω
{\displaystyle \forall w\in \Omega }
Y
n
=
1
n
X
n
{\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}X^{n}}
X
n
{\displaystyle X^{n}}
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
Y
n
(
w
)
{\displaystyle Y_{n}(w)}
w
{\displaystyle w}
Wir nehmen die Sprechweise wieder auf: Eine Aussage gilt '
P
{\displaystyle P}
P
{\displaystyle P}
A
{\displaystyle A}
w
{\displaystyle w}
P
(
A
)
=
1
{\displaystyle P(A)=1}
a) Eine Folge
Y
1
,
Y
2
,
.
.
.
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},...}
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
Y
{\displaystyle Y}
P
{
w
:
l
i
m
n
→
∞
Y
n
(
w
)
=
Y
(
w
)
}
=
1.
{\displaystyle P\lbrace w:lim_{n\to \infty }Y_{n}(w)=Y(w)\rbrace =1.}
Man schreibt kürzer:
P
(
l
i
m
n
Y
n
=
Y
)
=
1
{\displaystyle P(lim_{n}Y_{n}=Y)=1}
Y
n
→
Y
{\displaystyle Y_{n}\to Y}
P
{\displaystyle P}
b) Man sagt, dass eine Folge
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
μ
i
≡
E
(
X
i
)
{\displaystyle \mu _{i}\equiv E(X_{i})}
Y
n
=
1
n
[
(
X
1
−
μ
1
)
+
.
.
.
+
(
X
n
−
μ
n
)
]
{\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}[(X_{1}-\mu _{1})+...+(X_{n}-\mu _{n})]}
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle n=1,2,...}
P
{\displaystyle P}
Y
n
→
0
{\displaystyle Y_{n}\to 0}
P
{\displaystyle P}
Aus
Y
n
→
Y
{\displaystyle Y_{n}\to Y}
P
{\displaystyle P}
Y
m
→
P
Y
{\displaystyle Y_{m}{\stackrel {P}{\to }}Y}
Sei
(
Ω
,
U
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {U}},P)}
A
1
,
A
2
,
.
.
.
{\displaystyle A_{1},A_{2},...}
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
A
∗
{\displaystyle A^{*}}
A
{\displaystyle A}
A
∗
=
{
w
∈
Ω
:
w
∈
A
i
;
für unendlich viele
i
∈
N
}
{\displaystyle A^{*}=\lbrace w\in \Omega :w\in A_{i};\,{\text{für unendlich viele}}\,i\in \mathbb {N} \rbrace }
a) Gilt
∑
i
=
1
∞
P
(
A
i
)
≤
∞
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})\leq \infty }
P
(
A
∗
)
=
0
{\displaystyle P(A^{*})=0}
b) Sind die
A
1
,
A
2
,
.
.
.
{\displaystyle A_{1},A_{2},...}
∑
i
=
1
∞
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }}
P
(
A
∗
)
=
1
{\displaystyle P(A^{*})=1}
a) Es ist
w
∈
A
∗
{\displaystyle w\in A^{*}}
∀
n
∈
N
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }
i
≥
n
{\displaystyle i\geq n}
w
∈
A
i
{\displaystyle w\in A_{i}}
A
∗
=
⋂
n
=
1
∞
⋃
i
≥
n
A
i
.
{\displaystyle A^{*}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i\geq n}A_{i}.}
Da
A
∗
⊂
∪
i
≥
n
A
i
{\displaystyle A^{*}\subset \cup _{i\geq n}A_{i}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
P
(
A
∗
)
=
P
(
⋃
i
≥
n
A
i
≤
∑
i
≥
n
P
(
A
i
)
→
0
{\displaystyle P(A^{*})=P(\bigcup _{i\geq n}A_{i}\leq \sum _{i\geq n}P(A_{i})\to 0}
für
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
b) Wir benutzen die Ungleichung
1
−
x
≤
e
−
x
,
∀
x
∈
R
{\displaystyle 1-x\leq e^{-x},\forall x\in \mathbb {R} }
A
¯
1
,
A
¯
2
,
.
.
.
{\displaystyle {\bar {A}}_{1},{\bar {A}}_{2},...}
n
{\displaystyle n}
N
≥
n
{\displaystyle N\geq n}
P
(
⋂
i
=
1
∞
A
¯
i
)
≤
P
(
⋂
i
=
n
N
A
¯
i
)
=
Π
i
=
n
N
(
1
−
P
(
A
i
)
≤
Π
i
=
n
N
e
−
P
(
A
i
)
=
e
x
p
(
−
∑
i
=
n
N
P
(
A
i
)
)
→
0
{\displaystyle P(\bigcap _{i=1}^{\infty }{\bar {A}}_{i})\leq P(\bigcap _{i=n}^{N}{\bar {A}}_{i})=\Pi _{i=n}^{N}(1-P(A_{i})\leq \Pi _{i=n}^{N}e^{-P(A_{i})}=exp(-\sum _{i=n}^{N}P(A_{i}))\to 0}
für
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
P
(
A
¯
i
)
=
0
{\displaystyle P({\bar {A}}_{i})=0}
n
{\displaystyle n}
P
(
A
¯
i
∗
)
=
P
(
⋃
n
=
1
∞
⋂
i
≥
n
A
¯
i
)
≤
∑
n
=
1
∞
P
(
⋂
A
¯
i
)
=
0
{\displaystyle P({\bar {A}}_{i}^{*})=P(\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{i\geq n}{\bar {A}}_{i})\leq \sum _{n=1}^{\infty }P(\bigcap {\bar {A}}_{i})=0}
d.h.
P
(
A
∗
)
=
1
{\displaystyle P(A^{*})=1}
1. Teil b) rechtfertigt den populären Ausdruck: "Ein Ereignis, das (mit positiver Wahrscheinlichkeit) eintreten kann, tritt mit (
P
{\displaystyle P}
2. Teil b) lässt sich als weiteres Beispiel einer Folge
Y
n
,
n
≥
1
{\displaystyle Y_{n},n\geq 1}
Y
1
,
Y
2
,
.
.
.
{\displaystyle Y_{1},Y_{2},...}
B
(
1
,
1
n
)
{\displaystyle B(1,{\frac {1}{n}})}
Y
n
→
P
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {P}{\to }}0}
0
<
ϵ
<
1
{\displaystyle 0<\epsilon <1}
P
(
|
Y
n
|
>
ϵ
)
=
P
(
Y
n
=
1
)
=
1
n
→
0
{\displaystyle P(|Y_{n}|>\epsilon )=P(Y_{n}=1)={\frac {1}{n}}\to 0}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
3. Anderseits konvergiert die Folge für
P
{\displaystyle P}
w
2
{\displaystyle w^{2}}
∑
n
P
(
Y
n
=
1
)
=
∑
n
1
n
→
∞
{\displaystyle \sum _{n}P(Y_{n}=1)=\sum _{n}{\frac {1}{n}}\to \infty }
P
(
l
i
m
s
u
p
Y
n
=
1
)
=
m
p
(
A
∗
)
=
1
{\displaystyle P(limsupY_{n}=1)=mp(A^{*})=1}
und wegen
∑
n
m
p
(
Y
n
=
0
)
=
∑
n
(
1
−
1
n
)
=
∞
{\displaystyle \sum _{n}mp(Y_{n}=0)=\sum _{n}(1-{\frac {1}{n}})=\infty }
P
(
l
i
m
i
n
f
Y
n
=
0
)
=
m
p
(
B
∗
)
=
1.
{\displaystyle P(liminfY_{n}=0)=mp(B^{*})=1.}
Bearbeiten
Bilden
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
(
Ω
,
U
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {U}},P)}
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
V
a
r
(
X
i
)
≤
M
<
∞
{\displaystyle Var(X_{i})\leq M<\infty }
i
{\displaystyle i}
Definiere
Y
n
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
′
{\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X'_{i}}
X
i
′
=
X
i
−
E
(
X
i
)
{\displaystyle X'_{i}=X_{i}-E(X_{i})}
Wir zeigen zunächst, dass
Y
n
2
=
1
n
2
∑
i
=
1
n
2
X
i
′
→
0
{\displaystyle Y_{n^{2}}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n^{2}}X'_{i}\to 0}
P
{\displaystyle P}
Gemäß der Formel von Bienaymé ist
V
a
r
(
Y
n
2
)
=
1
n
4
∑
i
=
k
n
2
V
a
r
(
X
i
)
≤
1
n
2
M
{\displaystyle Var(Y_{n^{2}})={\frac {1}{n^{4}}}\sum _{i=k}^{n^{2}}Var(X_{i})\leq {\frac {1}{n^{2}}}M}
so dass Tschebyschoff für alle
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
A
k
ϵ
=
{
w
:
|
Y
n
2
(
w
)
|
≥
ϵ
}
{\displaystyle A_{k}^{\epsilon }=\lbrace w:|Y_{n^{2}}(w)|\geq \epsilon \rbrace }
P
(
A
k
ϵ
)
≤
1
ϵ
V
a
r
(
Y
n
2
)
≤
M
n
2
ϵ
2
{\displaystyle P(A_{k}^{\epsilon })\leq {\frac {1}{\epsilon }}Var(Y_{n^{2}})\leq {\frac {M}{n^{2}\epsilon ^{2}}}}
sowie
∑
n
=
1
∞
P
(
A
n
ϵ
)
<
∞
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A_{n}^{\epsilon })<\infty .}
Borel-Cantelli-Lemma Teil a) liefert für
A
∗
ϵ
=
{
w
:
|
Y
n
2
(
w
)
|
≥
ϵ
{\displaystyle A^{*\epsilon }=\lbrace w:|Y_{n^{2}}(w)|\geq \epsilon }
∞
{\displaystyle \infty }
n
}
{\displaystyle n\rbrace }
P
(
A
∗
ϵ
)
=
0
{\displaystyle P(A^{*\epsilon })=0}
Es folgt:
P
(
⋃
k
=
1
∞
A
∗
1
k
)
≤
∑
k
=
1
∞
P
(
A
∗
1
k
=
0
{\displaystyle P(\bigcup _{k=1}^{\infty }A^{*{\frac {1}{k}}})\leq \sum _{k=1}^{\infty }P(A^{*{\frac {1}{k}}}=0}
P
(
⋂
k
=
1
∞
A
∗
1
k
)
=
1
,
{\displaystyle P(\bigcap _{k=1}^{\infty }A^{*{\frac {1}{k}}})=1,}
denn für
w
∈
⋂
k
=
1
∞
A
∗
1
k
{\displaystyle w\in \bigcap _{k=1}^{\infty }A^{*{\frac {1}{k}}}}
Y
n
2
(
w
)
≥
1
k
{\displaystyle Y_{n^{2}}(w)\geq {\frac {1}{k}}}
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
P
{\displaystyle P}
w
{\displaystyle w}
∀
ϵ
>
0
∃
m
0
=
m
0
(
w
,
ϵ
)
{\displaystyle \forall \epsilon >0\exists m_{0}=m_{0}(w,\epsilon )}
(*)
|
Y
n
2
(
w
)
|
≤
ϵ
∀
n
2
≥
m
0
.
{\displaystyle |Y_{n^{2}}(w)|\leq \epsilon \forall n^{2}\geq m_{0}.}
Für beliebige
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
n
=
n
(
m
)
{\displaystyle n=n(m)}
n
2
≤
m
<
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle n^{2}\leq m<(n+1)^{2}}
B
∗
ϵ
=
{
w
:
|
m
n
2
>
m
(
w
)
−
Y
n
2
(
w
)
|
≥
ϵ
für
∞
viele
m
}
{\displaystyle B^{*\epsilon }=\lbrace w:|{\frac {m}{n^{2}}}>_{m}(w)-Y_{n^{2}}(w)|\geq \epsilon \,{\text{ für}}\,\infty \,{\text{ viele}}\,m\rbrace }
dass
P
(
⋂
n
=
1
∞
B
∗
ϵ
)
=
1
{\displaystyle P(\bigcap _{n=1}^{\infty }B^{*\epsilon })=1}
Folglich gilt für
P
{\displaystyle P}
∀
ϵ
>
0
∃
m
0
≡
m
0
(
w
,
ϵ
)
{\displaystyle \forall \epsilon >0\exists m_{0}\equiv m_{0}(w,\epsilon )}
(**)
|
m
n
2
Y
m
(
w
)
−
Y
n
2
(
w
)
|
≤
ϵ
{\displaystyle |{\frac {m}{n^{2}}}Y_{m}(w)-Y_{n^{2}}(w)|\leq \epsilon }
m
≤
m
0
.
{\displaystyle m\leq m_{0}.}
Die beiden Gleichungen (*) und (**) liefern für
P
{\displaystyle P}
∀
ϵ
>
0
∃
m
0
≡
m
=
(
w
,
ϵ
)
{\displaystyle \forall \epsilon >0\exists m_{0}\equiv m_{=}(w,\epsilon )}
|
Y
m
(
w
)
|
≤
m
n
2
|
Y
m
(
w
)
|
≤
|
m
n
2
Y
m
(
w
)
−
Y
n
2
(
w
)
|
+
|
Y
n
2
(
w
)
|
≤
2
ϵ
{\displaystyle |Y_{m}(w)|\leq {\frac {m}{n^{2}}}|Y_{m}(w)|\leq |{\frac {m}{n^{2}}}Y_{m}(w)-Y_{n^{2}}(w)|+|Y_{n^{2}}(w)|\leq 2\epsilon }
für alle
m
≥
m
0
{\displaystyle m\geq m_{0}}
Y
n
→
0
{\displaystyle Y_{n}\to 0}
P
{\displaystyle P}
Entsprechend der starken Aussage benötigt der Satz auch eine stärkere Voraussetzung als der Satz zum schwachen Gesetz der großen Zahlen.
Ist
X
n
{\displaystyle X^{n}}
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle B(n,p)}
1
n
X
n
→
p
{\displaystyle {\frac {1}{n}}X^{n}\to p}
P
{\displaystyle P}
n
{\displaystyle n}
1
n
(
X
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{n}}(X^{n})}
p
{\displaystyle p}
In diesem Abschnitt Verallgemeinerung (und Beweis) des Grenzwertsatzes von DeMoivre-Laplace auf Summen unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen (anstatt nur unabhängige Bernoullivariablen). Der Beweis zum zentralen Grenzwertsatz von Lindberg-Lexy (später) benutzt einen Stetigkeitssatz für charakteristische Funktionen und einen dritten Konvergenzbegriff ('Verteilungskonvergenz').
Seien
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
S
n
=
X
1
+
.
.
.
+
X
n
{\displaystyle S_{n}=X_{1}+...+X_{n}}
S
n
∗
=
S
n
−
E
(
S
n
)
V
a
r
(
S
n
)
{\displaystyle S_{n}^{*}={\frac {S_{n}-E(S_{n})}{\sqrt {Var(S_{n})}}}}
≡
{\displaystyle \equiv }
l
i
m
n
→
∞
P
(
a
<
S
n
≤
b
)
→
Φ
(
b
)
−
Φ
(
a
)
∀
a
<
b
;
a
,
b
∈
R
{\displaystyle lim_{n\to \infty }P(a<S_{n}\leq b)\to \Phi (b)-\Phi (a)\forall a<b;a,b\in \mathbb {R} }
Dabei ist
Φ
(
x
)
,
x
∈
R
{\displaystyle \Phi (x),x\in \mathbb {R} }
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
l
i
m
n
→
∞
P
(
S
n
∗
≤
x
)
=
Φ
(
x
)
∀
x
∈
R
{\displaystyle lim_{n\to \infty }P(S_{n}^{*}\leq x)=\Phi (x)\forall x\in \mathbb {R} }
1. Die Gültigkeit des zentralen Grenzwertsatzes eröffnet die Möglichkeit, unter Umständen nicht (oder nur schwer) berechenbare Wahrscheinlichkeiten
P
(
a
<
S
∗
≤
b
)
{\displaystyle P(a<S^{*}\leq b)}
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
2. Sind
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
μ
=
E
(
X
i
)
{\displaystyle \mu =E(X_{i})}
σ
2
=
V
a
r
(
X
i
)
{\displaystyle \sigma ^{2}=Var(X_{i})}
S
n
z
=
S
n
−
n
μ
n
σ
=
1
n
∑
i
=
1
n
(
X
i
−
μ
σ
)
=
n
X
¯
n
−
μ
σ
≠
X
¯
m
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
.
{\displaystyle S_{n}^{z}={\frac {S_{n}-n\mu }{{\sqrt {n}}\sigma }}={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{i=1}^{n}({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }})={\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}_{n}-\mu }{\sigma }}\neq {\bar {X}}_{m}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}.}
3. Um einen zentralen Grenzwertsatz zu beweisen, müssen wir zeigen:
F
n
∗
(
x
)
→
Φ
(
x
)
,
∀
x
∈
R
,
n
→
∞
{\displaystyle F_{n}^{*}(x)\to \Phi (x),\forall x\in \mathbb {R} ,n\to \infty }
wenn
F
n
∗
(
x
)
{\displaystyle F_{n}^{*}(x)}
S
n
∗
(
x
)
{\displaystyle S_{n}^{*}(x)}
Diese Aussage stellt einen dritten Konvergenzbegriff dar (Verteilungskonvergenz).
Allgemein wird Folgendes definiert:
Eine Folge
Y
n
,
n
≥
1
{\displaystyle Y_{n},n\geq 1}
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
F
n
(
x
)
→
F
0
(
x
)
∀
x
∈
C
(
F
0
)
,
{\displaystyle F_{n}(x)\to F_{0}(x)\forall x\in {\mathcal {C}}(F_{0}),}
dabei bezeichnet
F
n
{\displaystyle F_{n}}
F
0
{\displaystyle F_{0}}
Y
n
{\displaystyle Y_{n}}
F
0
{\displaystyle F_{0}}
C
(
F
0
)
⊂
R
{\displaystyle {\mathcal {C}}(F_{0})\subset \mathbb {R} }
F
0
{\displaystyle F_{0}}
Y
n
→
D
Y
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}Y}
(oder auch
Y
n
→
B
Y
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {B}}{\to }}Y}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1. Der Begriff der Verteilungskonvergenz verlangt nicht, das alle
Y
n
,
Y
0
{\displaystyle Y_{n},Y_{0}}
2. Für stetige Verteilungsfunktionen
F
0
{\displaystyle F_{0}}
Φ
{\displaystyle \Phi }
C
(
F
0
)
=
R
{\displaystyle {\mathcal {C}}(F_{0})=\mathbb {R} }
F
n
(
x
)
→
F
0
(
x
)
∀
x
∈
R
{\displaystyle F_{n}(x)\to F_{0}(x)\forall x\in \mathbb {R} }
erweist sich als zu restriktiv.
So gilt im folgenden Beispiel diese Forderung nicht, sondern lediglich jene aus der Definition.
Y
n
,
Y
0
{\displaystyle Y_{n},Y_{0}}
P
(
Y
n
=
1
n
)
=
1
,
P
(
Y
0
→
0
)
=
1
{\displaystyle P(Y_{n}={\frac {1}{n}})=1,P(Y_{0}\to 0)=1}
Für
F
n
(
x
)
=
1
[
1
n
,
∞
[
{\displaystyle F_{n}(x)=1_{[{\frac {1}{n}},\infty [}}
F
0
(
x
)
=
1
[
0
,
∞
)
{\displaystyle F_{0}(x)=1_{[0,\infty )}}
C
(
F
0
)
=
R
∖
{
0
}
{\displaystyle {\mathcal {C}}(F_{0})=\mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace }
lim
F
n
(
x
)
=
{
1
,
x
>
0
0
,
x
<
0
=
F
0
(
x
)
{\displaystyle \lim F_{n}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&x>0\\0,&x<0\end{array}}\right.=F_{0}(x)}
Bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
0
=
l
i
m
n
→
∞
F
n
(
x
)
≠
F
0
(
0
)
=
1
{\displaystyle 0=lim_{n\to \infty }F_{n}(x)\neq F_{0}(0)=1}
3. Der nächste Satz zeigt, dass aus stochastischer Konvergenz die Verteilungskonvergenz folgt. Zusammen mit der Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen folgt:
Y
n
→
Y
{\displaystyle Y_{n}\to Y}
P
{\displaystyle P}
⇒
Y
n
→
P
Y
0
→
Y
n
→
D
Y
0
{\displaystyle \Rightarrow Y_{n}{\stackrel {P}{\to }}Y_{0}\to Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}Y_{0}}
Sind
Y
n
,
n
≥
1
{\displaystyle Y_{n},n\geq 1}
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
(
Ω
,
U
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {U}},P)}
Y
n
→
P
Y
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {P}{\to }}Y_{0}}
Y
n
→
D
Y
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}Y_{0}}
Sei
x
∈
R
{\displaystyle x\in \mathbb {R} }
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
Y
0
−
Y
n
Y
ϵ
{\displaystyle Y_{0}-Y_{n}Y_{\epsilon }}
{
w
:
Y
n
(
w
)
≤
x
}
⊂
{
w
:
Y
0
(
w
)
≤
x
+
ϵ
}
∩
{
w
:
Y
0
(
w
)
−
Y
n
(
w
)
>
ϵ
}
{\displaystyle \lbrace w:Y_{n}(w)\leq x\rbrace \subset \lbrace w:Y_{0}(w)\leq x+\epsilon \rbrace \cap \lbrace w:Y_{0}(w)-Y_{n}(w)>\epsilon \rbrace }
und damit
P
(
Y
n
≤
x
)
≤
P
(
Y
0
≤
x
+
ϵ
)
+
P
(
Y
0
−
Y
n
>
ϵ
)
.
{\displaystyle P(Y_{n}\leq x)\leq P(Y_{0}\leq x+\epsilon )+P(Y_{0}-Y_{n}>\epsilon ).}
Wegen
Y
n
→
Y
0
{\displaystyle Y_{n}\to Y_{0}}
l
i
m
s
u
p
n
→
∞
P
(
Y
n
≤
x
)
≤
P
(
Y
0
≤
x
+
ϵ
)
≡
F
0
(
x
+
ϵ
)
.
{\displaystyle limsup_{n\to \infty }P(Y_{n}\leq x)\leq P(Y_{0}\leq x+\epsilon )\equiv F_{0}(x+\epsilon ).}
Analog:
l
i
m
i
n
f
n
→
∞
P
(
Y
n
≤
x
)
≥
F
0
(
x
−
ϵ
)
{\displaystyle liminf_{n\to \infty }P(Y_{n}\leq x)\geq F_{0}(x-\epsilon )}
Ist also
x
∈
C
(
F
0
)
{\displaystyle x\in {\mathcal {C}}(F_{0})}
F
n
(
x
)
=
P
(
Y
n
≤
x
)
{\displaystyle F_{n}(x)=P(Y_{n}\leq x)}
l
i
m
s
u
p
n
F
n
(
x
)
≤
F
0
(
x
)
≤
l
i
m
i
n
f
n
F
n
(
x
)
,
{\displaystyle limsup_{n}F_{n}(x)\leq F_{0}(x)\leq liminf_{n}F_{n}(x),}
l
i
m
F
n
(
x
)
=
F
0
(
x
)
{\displaystyle limF_{n}(x)=F_{0}(x)}
Die Umkehrung ist nicht richtig!
Sei
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
B
(
1
,
1
2
)
{\displaystyle B(1,{\frac {1}{2}})}
Y
n
=
1
−
Y
0
{\displaystyle Y_{n}=1-Y_{0}}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
Y
n
{\displaystyle Y_{n}}
B
(
1
,
1
2
)
{\displaystyle B(1,{\frac {1}{2}})}
Y
n
→
D
Y
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}Y_{0}}
Y
n
=
D
Y
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}Y_{0}}
Y
n
,
n
≥
1
{\displaystyle Y_{n},n\geq 1}
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
ϵ
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle \epsilon \in (0,1)}
P
(
|
Y
n
−
Y
0
|
>
ϵ
)
=
Y
n
=
1
−
Y
0
P
(
|
1
−
2
⋅
Y
0
|
>
ϵ
)
=
1
∀
n
≥
1.
{\displaystyle P(|Y_{n}-Y_{0}|>\epsilon ){\stackrel {Y_{n}=1-Y_{0}}{=}}P(|1-2\cdot Y_{0}|>\epsilon )=1\,\forall n\geq 1.}
Der Stetigkeitssatz für diskrete Wahrschenlichkeitsverteilungen besagt, dass der Limes einer Folge von Wahrscheinlichkeitsfunktionen, d.h.
a
n
=
l
i
m
n
→
∞
ρ
k
n
,
k
=
0
,
1
,
.
.
.
{\displaystyle a_{n}=lim_{n\to \infty }\rho _{k}^{n},k=0,1,...}
genau dann ist, wenn der Limes der zugehörenden erzeugenden Funktionen existiert. Zunächst stellen wir fest, das die Aussage eine Verteilungskonvergenz bedeutet.
Sind
Y
n
,
n
≥
1
{\displaystyle Y_{n},n\geq 1}
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}
ρ
k
n
=
P
(
Y
n
=
k
)
,
k
∈
Z
+
,
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle \rho _{k}^{n}=P(Y_{n}=k),k\in \mathbb {Z} _{+},n=1,2,...}
ρ
k
0
=
l
i
m
n
ρ
k
n
{\displaystyle \rho _{k}^{0}=lim_{n}\rho _{k}^{n}}
P
(
Y
o
∈
U
)
=
l
i
m
n
→
∞
P
(
Y
n
∈
U
)
{\displaystyle P(Y_{o}\in {\mathcal {U}})=lim_{n\to \infty }P(Y_{n}\in {\mathcal {U}})}
in allen
A
∈
Z
{\displaystyle A\in \mathbb {Z} }
Setzt man
A
=
(
−
∞
,
x
]
{\displaystyle A=(-\infty ,x]}
Y
n
→
D
Y
0
,
n
→
∞
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}Y_{0},n\to \infty }
In der allgemeinen Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Stetigkeitssatz mit Hilfe der zugehörigen charakteristischen Funktionen
ϕ
(
n
)
=
E
(
e
i
t
Y
n
)
,
t
∈
R
{\displaystyle \phi (n)=E(e^{itY_{n}}),t\in \mathbb {R} }
Seien
Y
n
,
n
≥
1
{\displaystyle Y_{n},n\geq 1}
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
Y
n
{\displaystyle Y_{n}}
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
ϕ
n
{\displaystyle \phi _{n}}
ϕ
0
{\displaystyle \phi _{0}}
ϕ
0
{\displaystyle \phi _{0}}
Y
0
:
ϕ
(
0
)
=
E
(
e
i
t
Y
0
)
,
t
∈
R
{\displaystyle Y_{0}:\phi (0)=E(e^{itY_{0}}),t\in \mathbb {R} }
Y
n
→
D
Y
0
⇔
ϕ
(
t
)
=
ϕ
0
(
t
)
,
∀
t
∈
R
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}Y_{0}\Leftrightarrow \phi (t)=\phi _{0}(t),\forall t\in \mathbb {R} }
ϕ
0
{\displaystyle \phi _{0}}
ϕ
0
{\displaystyle \phi _{0}}
Im folgenden Beispiel ist das nicht der Fall.
Y
n
{\displaystyle Y_{n}}
(
−
n
,
n
)
{\displaystyle (-n,n)}
ϕ
n
(
t
)
=
{
s
i
n
(
n
t
)
n
t
,
t
≠
0
1
,
t
=
0
{\displaystyle \phi _{n}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {sin(nt)}{nt}},&t\neq 0\\1,&t=0\end{array}}\right.}
und
l
i
m
ϕ
n
(
t
)
=
{
0
,
t
≠
0
1
,
t
=
0
{\displaystyle lim\phi _{n}(t)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&t\neq 0\\1,&t=0\end{array}}\right.}
mit bei 0 unstetigen Grenzfunktionen.
Für die Verteilungsfunktion
F
n
(
x
)
{\displaystyle F_{n}(x)}
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
l
i
m
F
n
(
x
)
=
l
i
m
n
→
∞
{
0
,
x
<
−
n
n
+
x
2
n
,
x
∈
(
−
n
,
n
)
1
,
x
>
n
}
=
1
2
,
{\displaystyle limF_{n}(x)=lim_{n\to \infty }\left\{{\begin{array}{ll}0,&x<-n\\{\frac {n+x}{2n}},&x\in (-n,n)\\1,&x>n\end{array}}\right\}={\frac {1}{2}},}
was keine Verteilungsfunktion darstellt. Es gibt kein
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
Y
n
→
D
Y
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}Y_{0}}
Y
n
→
D
Y
0
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}Y_{0}}
Y
0
{\displaystyle Y_{0}}
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
Y
n
→
D
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle Y_{n}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}N(0,1)}
Nun zeigen wir, dass die standardisierten Partialsummen
S
n
∗
{\displaystyle S_{n}^{*}}
Y
n
{\displaystyle Y_{n}}
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
Bearbeiten
Gegebn sei eine Folge
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
L
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}}
μ
≡
E
(
X
)
,
σ
2
≡
V
a
r
(
X
i
)
>
0
{\displaystyle \mu \equiv E(X),\sigma ^{2}\equiv Var(X_{i})>0}
S
n
∗
=
(
X
1
+
.
.
.
+
X
n
)
n
μ
n
σ
{\displaystyle S_{n}^{*}={\frac {(X_{1}+...+X_{n})n\mu }{{\sqrt {n}}\sigma }}}
der standardisierten Partialsummen von
X
n
,
n
≥
1
{\displaystyle X_{n},n\geq 1}
S
n
∗
→
D
N
(
0
,
1
)
n
→
∞
{\displaystyle S_{n}^{*}{\stackrel {\mathcal {D}}{\to }}N(0,1)\,\,n\to \infty }
Ist
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
X
i
−
μ
{\displaystyle X_{i}-\mu }
i
{\displaystyle i}
ϕ
S
n
∗
=
ϕ
n
∗
=
1
n
σ
∑
i
=
1
n
X
i
−
μ
{\displaystyle \phi _{S_{n}^{*}}=\phi _{n}^{*}={\frac {1}{{\sqrt {n}}\sigma }}\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu }
ϕ
n
∗
(
t
)
=
ϕ
∑
i
=
1
n
X
i
−
μ
(
t
n
σ
)
=
Π
i
=
1
n
ϕ
(
t
n
σ
)
=
(
ϕ
(
t
n
σ
)
)
n
{\displaystyle \phi _{n}^{*}(t)=\phi _{\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\mu }({\frac {t}{{\sqrt {n}}\sigma }})=\Pi _{i=1}^{n}\phi ({\frac {t}{{\sqrt {n}}\sigma }})=(\phi ({\frac {t}{{\sqrt {n}}\sigma }}))^{n}}
Taylorentwicklung von
ϕ
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
ϕ
(
t
)
=
1
+
ϕ
′
(
0
)
⋅
t
+
1
2
ϕ
″
(
0
)
⋅
t
2
+
r
2
(
t
)
{\displaystyle \phi (t)=1+\phi '(0)\cdot t+{\frac {1}{2}}\phi ''(0)\cdot t^{2}+r_{2}(t)}
mit
r
2
(
t
)
t
2
→
0
{\displaystyle {\frac {r_{2}(t)}{t^{2}}}\to 0}
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
Nach dem Satz zur Berechnung von Momenten ist
ϕ
′
(
0
)
=
i
⋅
E
(
X
i
−
μ
)
=
0
{\displaystyle \phi '(0)=i\cdot E(X_{i}-\mu )=0}
(*)
ϕ
″
(
0
)
=
−
E
(
X
i
−
μ
)
2
=
σ
2
{\displaystyle \phi ''(0)=-E(X_{i}-\mu )^{2}=\sigma ^{2}}
so dass
ϕ
(
t
)
=
1
−
1
2
σ
2
t
2
+
r
2
(
t
)
.
{\displaystyle \phi (t)=1-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}+r_{2}(t).}
Das
ϕ
n
∗
{\displaystyle \phi _{n}^{*}}
ϕ
n
∗
(
t
)
=
[
1
−
1
2
t
2
n
+
r
2
(
t
n
σ
)
]
n
=
(
1
−
t
2
2
(
1
+
a
(
t
)
)
)
n
{\displaystyle \phi _{n}^{*}(t)=[1-{\frac {1}{2}}{\frac {t^{2}}{n}}+r_{2}({\frac {t}{{\sqrt {n}}\sigma }})]^{n}=(1-{\frac {t^{2}}{2}}(1+a(t)))^{n}}
mit
a
(
t
)
=
r
2
(
t
n
σ
)
t
2
2
n
→
0
{\displaystyle a(t)={\frac {r_{2}({\frac {t}{{\sqrt {n}}\sigma }})}{\frac {t^{2}}{2n}}}\to 0}
t
→
∞
.
{\displaystyle t\to \infty .}
Es folgt mit einem
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
ϕ
n
∗
(
t
)
→
n
→
∞
ϵ
t
2
2
∀
t
∈
R
.
{\displaystyle \phi _{n}^{*}(t){\stackrel {n\to \infty }{\to }}\epsilon ^{\frac {t^{2}}{2}}\,\,\forall t\in \mathbb {R} .}
Die charakteristische Funktion der
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
1. Im Spezialfall unabhängiger,
N
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
S
n
∗
{\displaystyle S_{n}^{*}}
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
F
S
n
=
Φ
{\displaystyle F_{S_{n}}=\Phi }
n
{\displaystyle n}
2. Im zentralen Grenzwertsatz kann die unabhängig-Voraussetzung nicht ersatzlos gestrichen werden. Als Gegenbeispiel wähle man identische
X
1
=
X
2
=
.
.
.
{\displaystyle X_{1}=X_{2}=...}
3. Anwendungsbeispiel: Gewinnung von
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
U
[
0
,
1
]
{\displaystyle U[0,1]}
Sind
X
1
,
X
2
,
.
.
.
{\displaystyle X_{1},X_{2},...}
U
[
0
,
1
]
{\displaystyle U[0,1]}
μ
=
1
2
,
σ
2
=
1
12
{\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}},\sigma ^{2}={\frac {1}{12}}}
S
n
−
n
2
n
12
{\displaystyle {\frac {S_{n}-{\frac {n}{2}}}{\sqrt {\frac {n}{12}}}}}
approximiert
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
S
n
)
=
X
1
+
.
.
.
x
n
{\displaystyle S_{n})=X_{1}+...x_{n}}
n
=
48
{\displaystyle n=48}
S
n
−
24
2
{\displaystyle {\frac {S_{n}-24}{2}}}
N
(
0
,
1
)
{\displaystyle N(0,1)}
![{\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}[(X_{1}-\mu _{1})+...+(X_{n}-\mu _{n})],n=1,2,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b72fb84b235951662c18efe35815a2310e6f08e0)
![{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {U}},P)=([0,1],[0,1]\cap {\mathcal {B}}^{1},{\text{Gleichverteilung}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1099304c46d29a1076c3aadfc513899e6d10834b)
![{\displaystyle A_{n}=\lbrace w\to [0,1]:\exists m\in \mathbb {N} \,{\text{mit}}\,w+m\to [a_{n-1},a_{n}]\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6350cca3c7bfcfa384863d678c885d1d6f1ca1)
![{\displaystyle w\in [a_{n-1},a_{n}]{\text{mod}}1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79eb456f1223140036d05a31ba965890106bf42d)
![{\displaystyle w\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0acf63ae6e8341671a616ff0b763b44d94bd6669)
![{\displaystyle Y_{n}={\frac {1}{n}}[(X_{1}-\mu _{1})+...+(X_{n}-\mu _{n})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc8b639654402acc063ee70b7c9a0734b77f18e)
![{\displaystyle A=(-\infty ,x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89520d16b3ae3539fafc2abdb8af9f15f763126c)
![{\displaystyle \phi _{n}^{*}(t)=[1-{\frac {1}{2}}{\frac {t^{2}}{n}}+r_{2}({\frac {t}{{\sqrt {n}}\sigma }})]^{n}=(1-{\frac {t^{2}}{2}}(1+a(t)))^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efa6b05df0e63c820af9c34959ae66d1056a41a)
![{\displaystyle U[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4a82b2a883d751cf53e5ac11ea12b9e36298f0)
