Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Kovarianter Funktor/Homotopie/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}\Theta _{n}$ die Homotopien zwischen ${}F_{\bullet }$ und ${}G_{\bullet }$, die es nach Voraussetzung gibt. Es gilt also

${}\varphi _{n}-\psi _{n}=e_{n}\circ \Theta _{n-1}+\Theta _{n}\circ d_{n+1}\,.$

Wegen der Additivität des Funktors gilt auch

${}{\mathcal {F}}(\varphi _{n})-{\mathcal {F}}(\psi _{n})={\mathcal {F}}(e_{n})\circ {\mathcal {F}}(\Theta _{n-1})+{\mathcal {F}}(\Theta _{n})\circ {\mathcal {F}}(d_{n+1})\,.$

Zur bewiesenen Aussage