Gruppenhomomorphismen/Q Einheiten nach Z/Existenz/Aufgabe/Kommentar

Ein Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {Q} ^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ,$

ist eine Abbildung mit der Eigenschaft, dass ${}\varphi (ab)=\varphi (a)+\varphi (b)$ für alle ${}a,b\in \mathbb {Q} ^{\times }$. Um eine solche Funktion zu konstruieren, sollte man natürlich über die Umkehrung der Potenzfunktionen nachdenken, da die Potenzfunktion ${}\psi (n)=r^{n}$ die Eigenschaft ${}\psi (m+n)=\psi (m)\psi (n)$ erfüllt. Diese Funktionen wurden bereits implizit in Aufgabe betrachtet. Die Aufgabe besagt, dass jedes ${}z\in \mathbb {Q} ^{\times }$ eine eindeutige Darstellung der Form

${}z=\pm \prod _{p}p^{\exp _{p}(z)}\,$

besitzt, wobei das (endliche) Produkt sich über Primzahlen erstreckt und die Exponenten ${}{\exp _{p}(z)}\in \mathbb {Z}$ sind. Also ist ${}{\exp _{p}(z)}$ für jede Primzahl ${}p$ eine Abbildung von ${}\mathbb {Q} ^{\times }$ nach ${}\mathbb {Z}$. Jetzt muss man noch überprüfen, dass jedes ${}{\exp _{p}(z)}$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Zur kommentierten Aufgabe