Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis

Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

${}\varphi (e_{G})=\varphi (e_{G}e_{G})=\varphi (e_{G})\varphi (e_{G})\,.$

Durch Multiplikation mit ${}\varphi (e_{G})^{-1}$ folgt ${}e_{H}=\varphi (e_{G})$.
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}\varphi (g)=\varphi {\left(g^{-1}g\right)}=\varphi (e_{G})=e_{H}\,.$

Das heißt, dass ${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von ${}\varphi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt eindeutig bestimmt ist, muss ${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}$ gelten.

Zur bewiesenen Aussage