Gruppenhomomorphismus/Kern/Injektivitätskriterium/Einführung/Textabschnitt


Es seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben



Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern von eine Untergruppe von .

Wegen ist . Seien . Dann ist

und daher ist auch . Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun und betrachte das inverse Element . Nach Fakt ist

also auch .




Es seien und Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von trivial ist.

Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist

und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .