Gruppenhomomorphismus/Kern/Injektivitätskriterium/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}G$.

Beweis

Wegen ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ ist ${}e_{G}\in \operatorname {kern} \varphi$. Seien ${}g,g'\in \operatorname {kern} \varphi$. Dann ist

${}\varphi (gg')=\varphi (g)\varphi (g')=e_{H}e_{H}=e_{H}\,$

und daher ist auch ${}gg'\in \operatorname {kern} \varphi$. Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun ${}g\in \operatorname {kern} \varphi$ und betrachte das inverse Element ${}g^{-1}$. Nach Fakt ist

${}\varphi {\left(g^{-1}\right)}=(\varphi (g))^{-1}=e_{H}^{-1}=e_{H}\,,$

also auch ${}g^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$.

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Lemma

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von ${}\varphi$ trivial ist.

Beweis

Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element ${}h\in H$ höchstens ein Element aus ${}G$ gehen. Da ${}e_{G}$ auf ${}e_{H}$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf ${}e_{H}$ gehen, d.h. ${}\ker \varphi =\{e_{G}\}$. Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass ${}g,{\tilde {g}}\in G$ beide auf ${}h\in H$ geschickt werden. Dann ist

${}\varphi {\left(g{\tilde {g}}^{-1}\right)}=\varphi (g)\varphi ({\tilde {g}})^{-1}=hh^{-1}=e_{H}\,$

und damit ist ${}g{\tilde {g}}^{-1}\in \operatorname {kern} \varphi$, also ${}g{\tilde {g}}^{-1}=e_{G}$ nach Voraussetzung und damit ${}g={\tilde {g}}$.

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