Gruppenhomomorphismus/Kern/Injektivitätskriterium/Einführung/Textabschnitt
Es seien und Gruppen und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben
Wegen ist . Seien . Dann ist
und daher ist auch . Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun und betrachte das inverse Element . Nach Fakt ist
also auch .
Es seien und Gruppen.
Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von trivial ist.
Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist
und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .