Gruppenhomomorphismus/Komplexer Betrag/Beispiel

Wir fassen den komplexen Betrag als Abbildung

$\vert {-}\vert \colon {\mathbb {C} }^{\times }=({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot ,1)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

auf. Dabei liegen links und rechts Gruppen vor, und nach Fakt  (4) liegt ein Gruppenhomomorphismus vor. Die Abbildung ist surjektiv (da wir eben die positiven reellen Zahlen als Zielbereich gewählt haben), aber nicht injektiv, da beispielsweise der gesamte Einheitskreis auf ${}1$ abgebildet wird.