Gruppenoperation/Bahnenraum/Invariante Abbildung/Faktorisierung/Fakt

Es liege eine Gruppenoperation einer Gruppe ${}G$ auf einer Menge ${}M$ vor. Es sei ${}M\backslash G$ der Bahnenraum zu dieser Operation. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Quotientenabbildung

   $q\colon M\longrightarrow M\backslash G,\,x\longmapsto [x],$

   ist ${}G$-invariant (wobei ${}G$ auf dem Bahnenraum trivial operiert).

2. Wenn ${}N$ eine weitere Menge ist und

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   eine ${}G$-invariante Abbildung

   (wobei die Operation von ${}G$ auf ${}N$ trivial sei), so gibt es genau eine Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon M\backslash G\longrightarrow N$

   mit ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ q$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen