Gruppenring/Modul und Gruppendarstellung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}G$ eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring ${}K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter ${}M$ ein ${}K[G]$-Modul. Zeige, dass

a) ${}M$ nichts anderes ist als ein ${}K$-Vektorraum ${}V$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus ${}\rho \colon G\rightarrow \operatorname {Aut} _{K}(V)$.

b) ein ${}K[G]$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow M$ eine ${}K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich ${}\varphi \circ \rho (g)=\rho \circ \varphi$ für alle ${}g\in G$ gilt.

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