Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen

${}x-x=0\in H\,$

ist die Relation reflexiv. Mit ${}x-y\in H$ ist auch ${}y-x\in H$, da Untergruppen unter dem Negativen abgeschlossen sind, was die Symmetrie der Relation bedeutet. Mit ${}x\sim _{H}y$ und ${}y\sim _{H}z$, also ${}x-y,y-z\in H$, ist auch

${}x-z=(x-y)+(y-z)\in H\,,$

da Untergruppen unter der Addition abgeschlossen sind, und somit ist auch ${}x\sim _{H}z$. Damit ist die Relation auch transitiv. Die Äquivalenz von ${}x$ mit ${}0$ bedeutet ${}x-0=x\in H$, so dass die letzte Aussage auch klar ist.

Zur bewiesenen Aussage