Gruppentheorie/Kommutativ/Endlich erzeugt/Hauptsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ ein Erzeugendensystem von ${}G$. Dann ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} ^{m}\longrightarrow G,\,(a_{1},\ldots ,a_{m})\longmapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m}$

ein surjektiver Homomorphismus. Aufgrund von Fakt ist G daher isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi$.

${}\operatorname {kern} \varphi$ enthält nach Definition des Kerns genau alle Darstellungen des neutralen Elements von ${}G$ in ${}\mathbb {Z} ^{m}$. Damit wir ${}G$, bzw. ${}\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi$ genauer beschreiben können schauen wir uns daher den Kern genauer an.

${}\operatorname {kern} \varphi$ ist eine Untergruppe von ${}\mathbb {Z} ^{m}$ und kann daher aufgrund von Fakt durch ${}y_{1},\ldots ,y_{n},y_{i}\in \mathbb {Z} ^{m}$ erzeugt werden, wobei ${}n\leq m$. Dieses Erzeugendensystem können wir als die Spalten einer ${}m\times n$-Matrix

${}M$ schreiben. Es gilt dann

$\operatorname {bild} M=\operatorname {kern} \varphi .$

Der Fakt erlaubt es, ${}M=LDR$ zu schreiben, wobei ${}L=L_{1}\cdots L_{p}$ und ${}R=R_{q}\cdots R_{1}$ Hintereinanderschaltungen von über ${}\mathbb {Z}$ invertierbaren Matrizen sind. Als invertierbare Matrizen bilden ${}L$ und ${}R$ die Gruppe ${}\mathbb {Z} ^{m}$ auf ${}\mathbb {Z} ^{m}$ ab und ändern dabei nur die Rollen der Koeffizienten (im Allgemeinen mehr als Vertauschen!). Daher ist die Restklassengruppe der durch die Spalten von ${}M$ erzeugten Untergruppe isomorph zu der Restklassengruppe der durch die Spalten von ${}L^{-1}MR^{-1}=D$ erzeugten Untergruppe ${}\operatorname {bild} D$:

${\begin{array}{rcl}\mathbb {Z} ^{m}&{\stackrel {L^{-1}\cdot \Box \cdot R^{-1}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{m}\\\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M&{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} L^{-1}MR^{-1}\\\end{array}}$

Die Matrix ${}D$ hat aber nach Fakt die Form ${}\operatorname {Diag} (n_{1},\ldots ,n_{s},0,\ldots ,0)$. Die Gruppe ${}\operatorname {bild} D$ hat daher die Form ${}(n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0$.

Daraus folgt schließlich:

${}{\begin{aligned}G&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {kern} \varphi \\&=\mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} M\\&\cong \mathbb {Z} ^{m}/\operatorname {bild} D\\&=\mathbb {Z} ^{m}/((n_{1})\times \cdots \times (n_{s})\times 0\times \cdots \times 0)\\&=\mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\times \mathbb {Z} ^{r}.\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage