Es sei M {\displaystyle {}M} eine m × n {\displaystyle {}m\times n} -Matrix über Z {\displaystyle {}\mathbb {Z} } . Es sei k = min ( m , n ) {\displaystyle {}k={\min {\left(m,n\right)}}} das Minimum von m {\displaystyle {}m} und n {\displaystyle {}n} und s = rang M {\displaystyle {}s=\operatorname {rang} \,M} der Rang von M {\displaystyle {}M} .
Dann gibt es eine Darstellung
mit invertierbaren Z {\displaystyle {}\mathbb {Z} } -Elementarmatrizen L 1 , … , L p {\displaystyle {}L_{1},\ldots ,L_{p}} und R 1 , … , R q {\displaystyle {}R_{1},\ldots ,R_{q}} und einer Diagonalmatrix D = D i a g ( n 1 , … , n k ) {\displaystyle {}D=Diag(n_{1},\ldots ,n_{k})} .
Für i < s {\displaystyle {}i<s} (kleiner als der Rang von M) teilt n i {\displaystyle {}n_{i}} jeweils n i + 1 {\displaystyle {}n_{i+1}} und für i > s {\displaystyle {}i>s} gilt n i = 0 {\displaystyle {}n_{i}=0} .
eine
-Matrix über 
. Es sei 
das Minimum von 
und 
und 
der
Rang
von .
-Elementarmatrizen
und 
und einer
Diagonalmatrix
.
(kleiner als der Rang von M) teilt 
jeweils 
und für 
gilt 
.
