Es sei M{\displaystyle {}M} eine m×n{\displaystyle {}m\times n}-Matrix über Z{\displaystyle {}\mathbb {Z} }. Es sei k=min(m,n){\displaystyle {}k={\min {\left(m,n\right)}}} das Minimum von m{\displaystyle {}m} und n{\displaystyle {}n} und s=rangM{\displaystyle {}s=\operatorname {rang} \,M} der Rang von M{\displaystyle {}M}.
Dann gibt es eine Darstellung
mit invertierbaren Z{\displaystyle {}\mathbb {Z} }-Elementarmatrizen L1,…,Lp{\displaystyle {}L_{1},\ldots ,L_{p}} und R1,…,Rq{\displaystyle {}R_{1},\ldots ,R_{q}} und einer Diagonalmatrix D=Diag(n1,…,nk){\displaystyle {}D=Diag(n_{1},\ldots ,n_{k})}.
Für i<s{\displaystyle {}i<s} (kleiner als der Rang von M) teilt ni{\displaystyle {}n_{i}} jeweils ni+1{\displaystyle {}n_{i+1}} und für i>s{\displaystyle {}i>s} gilt ni=0{\displaystyle {}n_{i}=0}.
eine
-Matrix über 
. Es sei 
das Minimum von 
und 
und 
der
Rang
von .
-Elementarmatrizen
und 
und einer
Diagonalmatrix
.
(kleiner als der Rang von M) teilt 
jeweils 
und für 
gilt 
.
