Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Exponentenkriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Sei

${}n=\operatorname {ord} \,(G)=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist

${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {kgV} (\operatorname {ord} (x):\,x\in G)\,.$

Es sei ${}p_{i}$ ein Primteiler von ${}n$. Wegen

${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$

gibt es ein Element ${}x\in G$, dessen Ordnung ein Vielfaches von ${}p_{i}^{r_{i}}$ ist. Dann gibt es auch (in der von ${}x$ erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element ${}x_{i}$ der Ordnung ${}p_{i}^{r_{i}}$. Dann hat das Produkt ${}x_{1}\cdots x_{k}\in G$ nach Fakt die Ordnung ${}n$.

Zur bewiesenen Aussage