Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt/Beweis

Beweis

Betrachte die Nebenklassen

${}gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}\,$

für sämtliche ${}g\in G$. Es ist ${}h\mapsto gh$ eine Bijektion zwischen ${}H$ und ${}gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${}{\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Haben zwei Nebenklassen ${}g_{1}H,g_{2}H$ ein Element ${}g$ gemeinsam, etwa ${}g=g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2}$, so sind die Nebenklassen sogar gleich:

${}g_{1}H=g_{1}h_{1}H=g_{2}h_{2}H=g_{2}H\,.$

Da schließlich die Nebenklassen ganz ${}G$ überdecken, werden ${}G$ in endlich viele ${}{\#\left(H\right)}$-elementige Teilmengen zerlegt, sodass ${}{\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${}{\#\left(H\right)}$ ist.

Die zweite Aussage des Satzes ist eine einfache Folgerung der ersten, da die von ${}x$ erzeugte Untergruppe gerade die Kardinalität ${}\operatorname {ord} (x)$ besitzt.

Zur bewiesenen Aussage