Höhere Richtungsableitungen/K/Einführung/Textabschnitt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und einen fixierten Vektor ${}v\in V$ ist die Richtungsableitung in Richtung ${}v$ (falls diese existiert) selbst eine Abbildung

$D_{v}\varphi \colon G\longrightarrow W,\,P\longmapsto {\left(D_{v}\varphi \right)}{\left(P\right)}.$

Als solche ergibt es Sinn zu fragen, ob ${}D_{v}\varphi$ in Richtung ${}v\in V$ differenzierbar ist. Wir sprechen dann von höheren Ableitungen. Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume,

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Vektoren in ${}V$. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung ${}v_{n}$ existiert. Sie wird mit

$D_{v_{n}}(...(D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f))\ldots )$

bezeichnet.

Mit partiellen Ableitungen schreibt man höhere Ableitungen als

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}},\,{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\,{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},\,{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{k}}},\,{\text{etc.}}$

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume und

$f\colon G\longrightarrow W$

eine Abbildung auf einer offenen Menge ${}G\subseteq V$. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn für jede Auswahl ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}n$ Vektoren aus ${}V$ die höhere Richtungsableitung

$D_{v_{n}}(...D_{v_{2}}(D_{v_{1}}f)\ldots )$

in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert und stetig ist.

Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung ${}D_{v}\varphi$ in jede Richtung ${}v\in V$ existiert und stetig ist.