Die erste Aussage folgt direkt aus
Fakt
und
Fakt.
Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn
-
zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann
ist und es eine Permutation auf gibt derart, dass und assoziiert sind für alle . Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über . Es sei zuerst
(das sei zugelassen).
Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was
bedeutet.
Es sei also
und die Aussage sei für alle kleineren bewiesen. Die Gleichung bedeutet insbesondere, dass das Produkt rechts teilt. Da prim ist, muss nach
dem Lemma von Euklid
einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass von geteilt wird. Da ebenfalls prim ist, sind und assoziiert. Also ist
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mit einer Einheit und man kann die Gleichung nach kürzen und erhält
-
Die Induktionsvoraussetzung liefert dann
und dass jedes zu einem assoziiert ist.