Wegen gelten die Idealinklusionen
und daher gibt es kanonische Ringhomomorphismen
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Diese setzen sich zu einem Ringhomomorphismus in den Produktring zusammen, nämlich
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Wir müssen zeigen, dass dieser bijektiv ist. Zur Injektivität sei
derart, dass es in jeder Komponente auf abgebildet wird. Das bedeutet
für alle . D.h. ist ein Vielfaches dieser und aufgrund der Primfaktorzerlegung folgt, dass ein Vielfaches von sein muss. Also ist
in .
Zur Surjektivität genügt es zu zeigen, dass alle Elemente, die in einer Komponente den Wert und in allen anderen Komponenten den Wert haben, im Bild liegen. Es sei also vorgegeben. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind
und
teilerfremd. Daher gibt es nach
dem Lemma von Bezout
eine Darstellung der Eins, sagen wir
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Betrachten wir
.
Das wird unter der Restklassenabbildung in der ersten Komponente auf und in den übrigen Komponenten auf abgebildet, wie gewünscht.