Hauptidealbereich/Restklassenring/Endliche Länge/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion nach ${}n$. Bei ${}n=0$ ist ${}f$ eine Einheit, der Restklassenring ist der Nullring und dessen Länge ist ${}0$. Wenn ${}n=1$ ist, so ist ${}f$ selbst prim und der Restklassenring ${}R/(f)$ ist nach Fakt ein Körper, also ein einfacher ${}R$-Modul, der somit die Länge ${}1$ besitzt. Es sei die Aussage nun für ${}n$ bewiesen. Es sei

${}f=up_{1}\cdots p_{n}\cdot p_{n+1}=g\cdot p_{n+1}\,.$

Dann liegt die Idealinklusion ${}(f)\subset (p_{n+1})$ vor, und der Kern des zugehörigen surjektiven Modulhomomorphismus

$R/(f)\longrightarrow R/(p_{n+1})$

ist ${}(p_{n+1})R/(f)$. Dieser ${}R$-Modul ist wiederum isomorph zu ${}R/(g)$ über ${}1\mapsto p_{n+1}$. Es ist ja ${}hp_{n+1}\in (f)$ genau dann, wenn ${}h\in (g)$ ist. Somit haben wir eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow R/(g){\stackrel {\cdot p_{n+1}}{\longrightarrow }}R/(f)\longrightarrow R/(p_{n+1})\longrightarrow 0$

und die Behauptung folgt aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage