Heron-Verfahren/Quadrat/Rekursionsvorschrift/Konvergenz/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}c\in K_{+}$. Zu einem positiven ${}y_{0}\in K_{+}$ betrachten wir die Folge ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$, die durch die Rekursionsvorschrift

${}y_{n+1}:={\frac {y_{n}+2c+{\frac {c^{2}}{y_{n}}}}{4}}\,$

definiert sei.

1. Berechne die Glieder ${}y_{1},y_{2}$ zu ${}c=5$ und ${}y_{0}=1$.
2. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {c}}$ zum positiven Startwert ${}x_{0}$, der

   ${}x_{0}^{2}=y_{0}\,$

   erfülle. Zeige

   ${}y_{n}=x_{n}^{2}\,$

   für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

3. Zeige, dass ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}c$ konvergiert (und zwar unabhängig davon, ob es in ${}K$ eine Quadratwurzel von ${}c$ gibt).

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