Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Aus zwei solchen Darstellungen

mit den geforderten Eigenschaften folgt

wobei die beiden Summanden und orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie sind.

Zum Existenznachweis sei der gemäß Fakt eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von zu minimal wird. Sei

Es ist

für jedes zu zeigen. Nehmen wir an, dass es ein mit

gibt, wobei wir , indem wir eventuell durch ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann

was für positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber

im Widerspruch dazu, dass der Abstand (und damit das Abstandsquadrat) von in minimal wird.