Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Aus zwei solchen Darstellungen

{}v=u+w=u'+w'\,

mit den geforderten Eigenschaften folgt

{}0=u-u'+w-w'={\tilde {u}}+{\tilde {w}}\,,

wobei die beiden Summanden ${}{\tilde {u}}$ und ${}{\tilde {w}}=-{\tilde {u}}$ orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie ${}0$ sind.

Zum Existenznachweis sei ${}u\in U$ der gemäß Fakt eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von ${}v$ zu ${}U$ minimal wird. Sei

{}w=v-u\,.

Es ist

{}\left\langle v-u,u'\right\rangle =0\,

für jedes ${}u'\in U$ zu zeigen. Nehmen wir an, dass es ein ${}u'\in U$ mit

{}\left\langle v-u,u'\right\rangle =c\neq 0\,

gibt, wobei wir ${}c$ , indem wir eventuell ${}u'$ durch ${}-u'$ ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann

{}2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle =2c\lambda +\lambda ^{2}\left\langle u',u'\right\rangle =\lambda {\left(2c+\lambda \left\langle u',u'\right\rangle \right)}\,,

was für ${}\lambda$ positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber

{}{\begin{aligned}\left\langle v-u+\lambda u',v-u+\lambda u'\right\rangle &=\left\langle v-u,v-u\right\rangle +2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle \\&<\left\langle v-u,v-u\right\rangle \end{aligned}}

im Widerspruch dazu, dass der Abstand (und damit das Abstandsquadrat) von ${}v$ in ${}u$ minimal wird.