Hilbertraum/Orthonormalsystem/Fourierkeoffizienten/Summierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Für jede endliche Teilmenge ${}E\subseteq I$ ist

${}\Vert {\sum _{i\in E}\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\sum _{i\in E}\Vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle v_{i}}\Vert ^{2}=\sum _{i\in E}\vert {\left\langle v,v_{i}\right\rangle }\vert ^{2}\,,$

was nach Fakt durch ${}\Vert {v}\Vert ^{2}$ beschränkt ist. Daher ist die Familie eine Cauchy-Familie und somit wegen der Vollständigkeit des Raumes nach Fakt summierbar.

Zur bewiesenen Aussage