Hilbertraum/Stetig lineare Abbildung/Gradient/Fakt/Beweis

Beweis

Bei der Nullabbildung ist ${}x=0$ zu nehmen, sei also ${}\varphi$ nicht die Nullabbildung. Es sei ${}z\in V$ mit ${}\varphi (z)\neq 0$ und sei ${}U=\operatorname {kern} \varphi$. Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass ${}\varphi (z)$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist ${}U$ ein abgeschlossener Untervektorraum von ${}V$. Das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ist eindimensional: Zu ${}w,w'\in U^{\perp }$ gibt es ${}a\in {\mathbb {K} }$ mit ${}\varphi (w')=a\varphi (w)$, daher ist ${}w'-aw\in U$ und wegen der Orthogonalität ist ${}w'-aw=0$. Wir schreiben

${}z=p_{U}(z)+y\,$

mit ${}p_{U}(z)\in U$ und ${}y\in U^{\perp }$ im Sinne von Fakt. Es ist ${}\varphi (z)=\varphi (y)$. Wir setzen

${}x:={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\,,$

dies sichert

${}{\begin{aligned}\left\langle x,x\right\rangle &=\left\langle {\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y,{\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)^{2}}{\Vert {y}\Vert ^{4}}}\left\langle y,y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}\varphi (y)\\&=\varphi (x).\end{aligned}}$

Für ${}v\in V$ mit der kanonischen Zerlegung

${}v=u+w\,$

ist dann

${}{\begin{aligned}\left\langle v,x\right\rangle &=\left\langle u+w,x\right\rangle \\&=\left\langle w,x\right\rangle \\&=\left\langle ax,x\right\rangle \\&=a\left\langle x,x\right\rangle \\&=a\varphi (x)\\&=\varphi (w)\\&=\varphi (u+w)\\&=\varphi (v).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage