Wenn (2) erfüllt ist, so kann man insbesondere schreiben bzw. , d.h. teilt eine Potenz von bzw. gehört zum Radikal von . Wenn dies umgekehrt gilt, so ist eine Einheit in und es gibt einen -Algebrahomomorphismus .
Aus der Radikalzugehörigkeit folgt sofort, dass auf verschwindet, also . Die Umkehrung folgt, für algebraisch abgeschlossen, aus dem Hilbertschen Nullstellensatz.
Bei
gilt die letzte Umkehrung nicht, wie das Beispiel
und
in
zeigt.
hat reell keine Nullstelle, also ist
, es ist aber
keine Einheit im Polynomring.