Hilbertscher Nullstellensatz/Algebraisch/Z/Endlicher Körper/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung

$\mathbb {Z} {\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}A\longrightarrow A/{\mathfrak {m}}=L,$

die ebenfalls vom endlichen Typ ist. Das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {m}})$ ist ein Primideal in ${}\mathbb {Z}$, also gleich ${}(0)$ oder gleich ${}(p)$ mit einer Primzahl ${}p$. Im ersten Fall würde man eine Faktorisierung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Q} \longrightarrow L$

haben. Nach dem Hilbertscher Nullstellensatz ist ${}L$ endlich über ${}\mathbb {Q}$ und nach Fakt wäre dann ${}\mathbb {Q}$ auch endlich erzeugt über ${}\mathbb {Z}$, was aber nicht der Fall ist. Der erste Fall ist also ausgeschlossen. Es liegt also der zweite Fall vor, und man hat eine Faktorisierung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow L.$

Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz ist somit ${}L$ endlich über dem endlichen Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$ und damit selbst endlich.

Zur gelösten Aufgabe