Holomorphe Differentialform/C/Integralüberlagerung/Einführung/Textabschnitt

Konstruktion  

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge und sei ${}\omega =fdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}G$ mit einer holomorphen Funktion ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$. Für jeden Punkt ${}P\in G$ gibt es eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq G$ (beispielsweise einen offenen Ball) derart, dass die Einschränkung von ${}\omega$ auf ${}U$ eine Stammfunktion besitzt, siehe Fakt. Wir betrachten

${}G_{\omega }=G\times {\mathbb {C} }\,,$

zusammen mit der Projektion nach ${}G$, und wir werden auf ${}G\times {\mathbb {C} }$ eine Topologie derart definieren, dass diese Projektion eine Überlagerung wird. Wir betrachten die Teilmengen

${}\Gamma (U,F)={\left\{(P,F(P))\mid P\in U\right\}}\,,$

wobei ${}U\subseteq G$ eine offene Teilmenge und ${}F$ eine Stammfunktion zu ${}\omega$ auf ${}U$ ist. Es handelt sich also um den Graphen einer lokalen Stammfunktion. Wenn ${}U$ zusammenhängend ist, so unterscheiden sich die ${}\Gamma (U,F)$ untereinander um eine Kontante aus ${}{\mathbb {C} }$, da sich ja Stammfunktionen um eine Konstante unterscheiden.

Wir legen nun eine Topologie auf ${}G_{\omega }$ dadurch fest, dass wir beliebige Vereinigungen von solchen Mengen ${}\Gamma (U,F)$ als offen erklären, die ${}\Gamma (U,F)$ bilden also eine Basis der Topologie. Man beachte hierzu, dass der Durchschnitt von zwei solchen Mengen eine Vereinigung solcher Mengen ist. Sei hierzu ${}(P,y)\in \Gamma (U,F)\cap \Gamma (V,G)$. Dann ist ${}P\in U\cap V$ und dann gibt es auch einen offenen Ball ${}P\in W\subseteq U\cap V$. Wegen

${}y=F(P)=G(P)\,$

gilt überhaupt

${}F{|}_{W}=G{|}_{W}\,.$

Für jeden Punkt im Durchschnitt gibt es also auch eine offene Umgebung der beschriebenen Form. Für jede offene Menge ${}U\subseteq G$, auf der ${}\omega$ eine Stammfunktion besitzt, ist nun die eingeschränkte Projektion

$p^{-1}(U)\cong U_{\omega }\longrightarrow U$

eine triviale Überlagerung, die einfach aus einer disjunkten Vereinigung von Kopien von ${}U$ besteht, und zwar eine für jedes ${}y\in {\mathbb {C} }$. Daher ist ${}G_{\omega }$ eine Überlagerung von ${}G$, man nennt sie die Integralüberlagerung zu ${}\omega$.

Auf ${}G_{\omega }$ gibt es die wohldefinierte Abbildung

$F\colon G_{\omega }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(P,G(P))\longmapsto G(P),$

siehe Aufgabe. Diese repräsentiert in gewisser Weise eine Stammform für ${}\omega$, sie ist allerdings nicht auf ${}G$, sondern auf der Integralüberlagerung ${}G_{\omega }$ definiert.

Lemma

Es sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der zugehörigen holomorphen Differentialform ${}\omega =fdz$ und sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow G$

ein stetiger, stückweise stetig-differenzierbarer Weg.

Dann ist

${}\int _{\gamma }fdz=F({\tilde {\gamma }}(b))-F({\tilde {\gamma }}(a))\,,$

wobei

${\tilde {\gamma }}\colon [a,b]\longrightarrow G_{\omega }$

eine Liftung in die Integralüberlagerung ${}G_{\omega }$ ist und ${}F$ die Stammform auf ${}G_{\omega }$ bezeichnet.

Beweis

Es ist ${}\gamma ([a,b])$ kompakt und daher gibt es eine endliche Überdeckung mit offenen Bällen ${}U_{i}$, auf denen ${}\omega$ eine Stammform besitzt, und Unterteilungspunkte

${}a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b\,$

derart, dass

${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}])\subseteq U_{i}\,$

in einem offenen Ball ${}U_{i}$ liegt. Mit einer Stammform ${}F_{i}$ zu ${}\omega {|}_{U_{i}}$ und ${}\gamma _{i}=\gamma {|}_{[t_{i-1},t_{i}]}$ ist nach Fakt

${}\int _{\gamma _{i}}\omega =F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\,.$

Die (Teil-)Liftung ${}{\tilde {\gamma }}_{i}$ besitzt die Form

${}{\tilde {\gamma }}_{i}(t)=(\gamma _{i}(t),F_{i}(\gamma (t))+c)\,$

mit einem ${}c\in {\mathbb {C} }$. Somit ist

${}{\begin{aligned}F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i-1}\right)}\right)}&=F_{i}(\gamma (t_{i}))+c-{\left(F_{i}(\gamma (t_{i-1}))+c\right)}\\&=F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\\&=\int _{\gamma _{i}}\omega .\end{aligned}}$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{i=1}^{n}\int _{\gamma _{i}}\omega \\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i}\right)}\right)}-F_{i}{\left(\gamma {\left(t_{i-1}\right)}\right)}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\left(F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{i-1}\right)}\right)}\right)}\\&=F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{n}\right)}\right)}-F{\left({\tilde {\gamma }}{\left(t_{0}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

$\Box$

Die Integralüberlagerung und das vorstehende Lemma erlauben es, Wegintegrale zu holomorphen Differentialformen auch zu nur stetigen Wegen zu definieren, da es für diese ja eine stetige Liftung gibt.