Holomorphe Funktion/Eine Variable/r-bestimmt/Aufgabe

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$, ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }^{1}$ offen, eine holomorphe Funktion mit ${}f(0)=0$. Zeige, das die folgenden Charakterisierungen einer Zahl ${}r$ äquivalent sind.

1. ${}0$ ist eine ${}r$-fache Nullstelle von ${}f$.
2. Es ist ${}f=x^{r}h$ mit ${}h$ nullstellenfrei im Nullpunkt.
3. Das Jacobiideal zu ${}f$ in ${}{\mathcal {O}}_{1}$ ist ${}(x^{r-1})$.
4. Die Milnorzahl zu ${}f$ im Nullpunkt ist ${}r-1$.
5. ${}f$ ist ${}r$-bestimmt, aber nicht ${}(r-1)$-bestimmt.

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