Holomorphe Funktion/Entfaltung/Addition/Fasern/Bemerkung

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen. Dann besitzt die Entfaltung

$E\colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,t)\longmapsto f(x)-t,$

die Eigenschaft, dass die Nullstellenmenge zu ${}E(f,t)=f_{t}$ bei ${}t$ fixiert einfach das Urbild von ${}t$ unter ${}f$ ist. Es ist ja unmittelbar

${}E(-,t)^{-1}(0)=f_{t}^{-1}(0)={\left\{x\in U\mid f_{t}(x)=0\right\}}={\left\{x\in U\mid f(x)=t\right\}}=f^{-1}(t)\,.$

D.h. in dieser Entfaltung treten die benachbarten Fasern ${}f^{-1}(t)$ zu ${}t\in {\mathbb {C} }$ als deformierte Fasern auf. Mit Entfaltungen studiert man also insbesondere auch, wie sich die Nullstellenmenge zu ${}f$ bezogen auf die benachbarten Fasern verhält.