Holomorphe Funktion/Nichtausgeartet/Morse-Lemma/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir schreiben ${}f$ in den lokalen Koordinaten ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ als Potenzreihe

${}f=\sum _{\nu :\,\vert {\nu }\vert \geq 2}z^{\nu }=\sum _{1\leq i,j\leq n}h_{ij}z_{i}z_{j}\,$

mit holomorphen Funktionen ${}h_{ij}$ mit ${}h_{ij}=h_{ji}$. Die Matrix ${}(h_{ij})$ ist also symmetrisch und im Nullpunkt nichtausgeartet. Daher gibt es auch eine offene Umgebung des Nullpunktes, wo sie nicht ausgeartet ist. Für jede Matrix ${}(h_{ij}(P))$ kann man zur Einheitsmatrix diagonalisieren.

Das Orthogonalisierungssverfahren liefert Linearformen ${}w_{j}$ mit

${}w_{j}(P)=\sum _{i}g_{ij}(P)z_{i}\,$

mit

${}f(P)=\sum _{1\leq i,j\leq n}h_{ij}(P)z_{i}z_{j}=\sum _{j}{\left(w_{j}(P)\right)}^{2}\,.$

Die explizite Beschreibung des Orthogonalisierungsverfahren sichert, dass die Abhängigkeit der Funktionen ${}g_{ij}$ von ${}P$ holomorph ist. Daher kann man die ${}w_{j}$ als holomorphe Koordinaten nehmen.

Zur bewiesenen Aussage