Wenn
und
zueinander rechtsäquivalent sind, so gibt es eine biholomorphe Abbildung
auf offenen Umgebungen der in mit
,
und diese kann man durch die Identität zu einer biholomorphen Abbildung zwischen
und
fortsetzen, die zeigt, dass auch
und
rechtsäquivalent sind.
Es seien nun
und
zueinander rechtsäquivalent. Dann gibt es offene Umgebungen
,
,
der und eine biholomorphe Abbildung
-
mit
(wir können nicht davon ausgehen, dass auf den ersten Variablen die Identität vorliegt, deshalb müssen wir die Variablen unabhängig voneinander ansetzen).
Es liegt also das kommutative Diagramm
-
vor. Unter entspricht der Unterraum einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit
.
Für einen Punkt
gilt wegen der speziellen Gestalt von bzw. und der Kettenregel für jedes
Mit Hilfe der -Matrix
-
können wir diese Gleichungen als
-
schreiben. Die Matrix ist nach
Aufgabe
im Nullpunkt
invertierbar.
Damit ist sie auch in einer offenen Umgebung für
invertierbar. Es gilt also
mit der von abhängigen inversen Matrix . Somit sind die als Linearkombinationen der darstellbar und gehören insbesondere zum Jacobiideals zu den .
Dabei gehört die linke Summe zum Quadrat des Jacobiideals zu den und der rechte Summand gehört zur dritten Potenz des maximalen Ideals in den . Daher können wir
Fakt
anwenden und erhalten, dass und rechtsäquivlent ist.