Holomorphe Funktionenmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Rückrichtung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Es sei ein Punkt derart, dass die Funktionsfamilie in keiner offenen Ballumgebung beschränkt ist. Dann gibt es insbesondere zu jedem eine Funktion derart, dass auf nicht durch beschränkt ist. Insbesondere gibt es dann einen Punkt mit . Die Menge ist kompakt. Würde es eine Teilfolge geben, die gleichmäßig auf konvergiert, so würde es insbesondere eine stetige Grenzfunktion geben. Es gibt dann insbesondere ein mit

für alle (aus der Indexmenge der Teilfolge) und alle . Ebenso gilt wegen der gleichmäßigen Stetigkeit der auf für hinreichend groß

Dies zeigt, dass beliebig groß ist.