Homogenes Polynom/Extrema/Aufgabe

Es sei ${}f$ ein reelles Polynom in ${}n$ Variablen mit der Eigenschaft, dass sämtliche in ${}f$ vorkommenden Monome den gleichen Grad ${}d$ haben. Es ist also

${}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\,.$

1. Zeige

   ${}f(tx_{1},tx_{2},\ldots ,tx_{n})=t^{d}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,$

   für ${}t\in \mathbb {R}$.

2. Zeige, dass ${}f$ kein isoliertes lokales Extremum in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}P\neq \left(0,\,0,\,\ldots ,\,0\right)$ besitzt.
3. Es sei ${}d$ ungerade. Zeige, dass ${}f$ kein isoliertes lokales Extremum im Nullpunkt besitzt.

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