Homogenes Polynom/Extrema/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}f(tx_{1},tx_{2},\ldots ,tx_{n})&=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}{\left(tx_{1}\right)}^{r_{1}}{\left(tx_{2}\right)}^{r_{2}}\cdots {\left(tx_{n}\right)}^{r_{n}}\\&=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}t^{r_{1}}t^{r_{2}}\cdots t^{r_{n}}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\\&=\sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}t^{d}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\\&=t^{d}\cdot \sum _{(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})\,,\sum _{j}r_{j}=d}a_{r}x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}\\&=t^{d}\cdot f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

2. Es sei ${}P=\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt ${}\neq 0$. In jeder beliebig kleinen ${}\epsilon$-Umgebung von ${}P$ gibt es von ${}P$ verschiedene Punkte der Form

   ${}tP=t\left(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right)=\left(tx_{1},\,tx_{2},\,\ldots ,\,tx_{n}\right)\,$

   mit ${}t>1$ und ${}t<1$. Nach Teil (1) ist

   ${}f(tP)=t^{d}f(P)\,.$

   Bei ${}f(P)=0$ sind diese Punkte ebenfalls gleich ${}0$, bei ${}f(P)\neq 0$ ist einer von ihnen kleiner und einer größer als ${}f(P)$, was die Existenz eines lokalen Extremums ausschließt.

3. Im Nullpunkt besitzt ${}f$ den Wert ${}0$. Es sei ${}Q\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}Q\neq 0$. Wir betrachten das Verhalten von ${}f$ auf der Geraden ${}\mathbb {R} Q$. Bei ${}f(Q)=0$ ist ${}f$ auf der Geraden konstant gleich ${}0$. Bei ${}f(Q)\neq 0$ hängt das Vorzeichen von ${}f(tQ)$ davon ab, ob ${}t$ positiv oder negativ ist. Daher kann im Nullpunkt kein lokales Extremum vorliegen.

Zur gelösten Aufgabe