Homomorphiesätze/Kommutative Ringe/Gruppe bekannt/Textabschnitt
Satz
Es seien und kommutative Ringe, es sei ein Ringhomomorphismus und ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass
ist.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
derart, dass ist.
Mit anderen Worten: das Diagramm
ist kommutativ.
Beweis
Aufgrund von Fakt gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
der die Eigenschaften erfüllt. Es ist also lediglich noch zu zeigen, dass auch die Multiplikation respektiert. Es seien dazu , und diese seien repräsentiert durch bzw. aus . Dann wird durch repräsentiert und daher ist
Ferner ist
Die im vorstehenden Satz konstruierte Abbildung heißt wieder induzierte Abbildung oder induzierter Homomorphismus und entsprechend heißt der Satz auch Satz vom induzierten Homomorphismus.
Korollar
Es seien und kommutative Ringe und es sei
ein surjektiver Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Isomorphie von Ringen
Beweis
Satz
Es seien und kommutative Ringe und es sei
ein Ringhomomorphismus.
Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
wobei die kanonische Projektion, ein Ringisomorphismus und die kanonische Inklusion des Bildes ist.
Beweis
Es gilt also wieder:
- Bild Urbild modulo Kern.