Homomorphismenraum/Basen/Matrizen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Bijektivität wurde in Fakt gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus

{}{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f+g)\right)}_{ij}=((f+g)(v_{j}))_{i}=(f(v_{j})+g(v_{j}))_{i}=f(v_{j})_{i}+g(v_{j})_{i}={\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f)\right)}_{ij}+{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(g)\right)}_{ij}\,,

wobei der Index ${}i$ die ${}i$ -te Komponente bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ bezeichnet.