Homomorphismenraum/Direkte Summenzerlegung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es seien

${}V=V_{1}\oplus \cdots \oplus V_{n}\,$

und

${}W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{m}\,$

direkte Summenzerlegungen und es seien

$p_{j}\colon W\longrightarrow W_{j}$

die kanonischen Projektionen.

Dann ist die Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \prod _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)},\,f\longmapsto p_{j}\circ {\left(f{|}_{V_{i}}\right)},$

ein Isomorphismus.

Wenn man die ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)}$ als Untervektorräume von ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung

${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\cong \bigoplus _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)}\,.$

vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen