Homomorphismenraum/Direkte Summenzerlegung/Fakt/Beweis

Beweis

Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus Fakt. Zum Nachweis der Injektivität sei ${}f\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ mit ${}f\neq 0$ gegeben. Dann gibt es ein ${}v\in V$ mit

${}f(v)\neq 0\,.$

Sei ${}v=v_{1}+\cdots +v_{n}$ mit ${}v_{i}\in V_{i}$. Dann ist auch ${}f(v_{i})\neq 0$ für ein ${}i$. Dann ist auch ${}(f(v_{i}))_{j}\neq 0$ für ein ${}j$ und damit ist

${}f_{ij}=p_{j}\circ {\left(f{|}_{V_{i}}\right)}\neq 0\,.$

Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen ${}f_{ij}\in \operatorname {Hom} _{K}{\left(V_{i},W_{j}\right)},\,1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq m$, gegeben, die wir als Abbildungen nach ${}W$ auffassen. Dann sind die

${}f_{i}=\sum _{j=1}^{m}f_{ij}\,$

lineare Abbildungen von ${}V_{i}$ nach ${}W$. Dies ergibt nach Fakt eine lineare Abbildung ${}\sum _{i=1}^{n}f_{i}$ von ${}V$ nach ${}W$, die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.

Zur bewiesenen Aussage